[ Pyxis ]
ハードウェア設計コンテスト
最終レポート

１．製作の目的

表紙
目次

１．　製作の目的
１．１　対象
１．２　問題点
１．３　解決法
１．４　略記号について

２．　システム概要
２．１　設計方針
２．２　システム的機能
２．３　動作の概要

３．　システム設計
３．１　演算フローの検討
３．２　数値のデータ表現
３．３　式(1-5)の判定法

４．　機能ブロックの解説
４．１　システムブロック
４．２　加算・減算回路
４．３　乗算回路
４．４　Ox：C_x生成回路
４．５　Oy：C_y生成回路
４．６　Xx：Z_x²−Z_y²＋C_x演算回路
４．７　Yy：２Z_xZ_y＋C_ｙ演算回路
４．８　Rr：Z_x²＋Z_y²演算回路
４．９　Cn：制御回路
４．10　回路図の構成

５．　タイミング設計
５．１　タイムチャートの表記法
５．２　タイムチャート

６．　使用部品

７．　実装設計
７．１　基板
７．２　レイアウト

８．　製作

９．　ハンドリングソフトウェア

10．　結果
10．１　実行時間
10．２　設計目標との対比

11．　終わりに

付録１　制御信号と出力条件
付録２　タイムチャート
付録３　部品表
付録４　部品レイアウト図 (約240KB)
付録５　回路階層と機能説明
付録６　全回路図 (約1.7MB)

Copyright 2003-2006
Chiaki Nakajima.
All rights reserved.

　まずこの章では，Mandelbrot集合のコンピュータグラフィックスについて説明し，従来の方法，すなわちソフトウエアによる描画法とその問題点について述べます．そして，ハードウエアによる解決法としてのPyxisの，内容説明への導入とします．

１.１　対象

　フラクタル図形の代表として有名なものに，Mandelbrot集合（以下Ｍ集合）のコンピュータグラフィックス（ＣＧ）があります．この不可思議な形状には，文字どおりの "無限" が醸し出す想像を超えた美しさ，神秘性が潜んでいます．従来より多数の書籍，雑誌の中で紹介されているほか，それらのＣＧばかりを集めた本が出版されていることからも，その不思議な魅力にとりつかれた人の多さが想像できます．
　写真１-１から写真１-７は，Pyxisを用いた描画画面の例です．写真１-１はＭ集合の全体像，写真１-２以降は全体像の一部を拡大描画したものです．

　ここで，Ｍ集合とその描画について簡単に説明しておきます．
　Ｚを複素変数，Ｃを複素定数として，次式

をＺ_０＝０として反復演算します．この結果，反復回数ｎを無限大としても|Ｚ|が無限に大きくならないＣの集合がＭ集合です．基本となるルールは，驚くべきことにたったこれだけです．
　これを画面に描画します．描画法にも種々あるようですが，ここではもっとも一般的と思われる方法について説明します．

　図１-１のように，複素平面内に，ある描画対象領域（a_１,b_１)-(a_２,b_２）を考え，これを画面に当てはめます．画面のサイズ（ピクセル数）をＸ_ＭＡＸ×Ｙ_ＭＡＸ，その中の画面座標(ｘ,ｙ)のピクセルをＰ_ｘ，ｙで表すとします．さらに，各Ｐ_ｘ，ｙに対応する描画対象領域内の点をＣ_ｘ，ｙとして，これは

であるとすれば，Ｃ_ｘ，Ｃ_ｙは，

　さらに，画像の変形をさけるため，ｘ軸とｙ軸のスケールが等しくなるように，

と置き換えれば，式(1-2)は，

となります．
　ところで，実際の演算では無限大を扱うことはできませんから，|Ｚ|とｎのそれぞれに対して，無限大とみなすための閾値を設定します．式(1-1)の反復において，あるｎの時点で

が満たされれば，それ以降の反復により|Ｚ|は無限に大きくなりますので，これを判定基準とします１）．またｎについては，描画結果と描画時間との兼ね合いにより，予め適当な最大反復回数Ｎ_ＭＡＸを設定しておくものとします．
　さて，式(1-4)のＣ_ｘ，ｙを式(1-1)のＣとして反復演算を行います．そしてＮ_ＭＡＸ回までの反復の中で，毎ｎにつき式(1-5)が満たされるか否かを調べていきます．
　反復はｎ＝Ｎ_ＭＡＸ-1か式(1-5)の成立にて終了とします．そして，その時のｎの値を演算結果とします．これをＮ_ｘ，ｙとすると，すなわち

　この結果に基づき，画面上の１ピクセルＰ_ｘ，ｙを描画します．Ｎ_ｘ，ｙ＝Ｎ_ＭＡＸ-1ならば黒で描画し，Ｎ_ｘ，ｙ＜Ｎ_ＭＡＸ-1ならばＮ_ｘ，ｙの値を使って適当な色で描画します．
　以上の処理をｘ,ｙすべての組み合わせについて行えば，１画面分の描画図形が得られます．そこでは，Ｍ集合の部分は黒で，そしてそれ以外の部分には，Ｚが無限遠点へ飛び去る速さの違いが色のパターンとなって表現されることになります．
　このようにして，様々な対象領域Ｃに対する画像を得ることが，Ｍ集合のＣＧの目的となります．
（注）筆者が使用しているコンピュータは色数が少ないため，Ｍ集合以外の部分にも黒を使用しています．画面写真参照の際，注意してください．

１.２　問題点

　以上の処理をソフトウエアで実現するのは簡単です（リスト１-１参照）．しかし，問題は演算量です．
　ＺもＣと同様に

で表されるとすると，Ｚの反復１回に含まれる演算は，リスト１-１に注意しつつ，式(1-1)より

となりますから，最低８回の浮動小数点加減乗算が必要です．例えば，
　　Ｘ_ＭＡＸ＝400，Ｙ_ＭＡＸ＝320，Ｎ_ＭＡＸ＝100
として，すべてのピクセルがＭ集合に含まれる場合（Ｎ_ＭＡＸ回反復する）を考えると，仮に判定用比較演算や，また正規化，加減算時の桁合わせなどを考えないとしても，演算量は１億回を越えます．これを例えば１分以内に描画するには，最低限約２MFLOPSの性能が必要になります．
　今でこそ３２ビットＭＰＵやオンチップＦＰＵ，浮動小数点演算ＤＳＰなどが当たり前になっていますが，当時（1986年頃）はまだ８ビットマシンを使っている人も多かった頃で，１枚の画面を得るのに一晩かかるのが普通でした．PC98XL^２(386+387)でも数時間，筆者の使っていた自作CP/Mマシンでは十数時間も必要でした．これでは，「この辺を拡大するとどうなっているのだろう」と思っても，結果がでるのは翌日です．これは精神衛生上，非常によくありません．

１.３　解決法

　もちろん，高価なハードウエアを用意すればすぐにでも高速化はできますが，それでは面白くありません．そこで，専用ハードウエア（Pyxis）を自作することにしました．当時筆者は貧乏学生だったので，予算を労力でカバーすることを基本方針としました．
　では，２章以降で本論に入ります．Pyxisは回路規模が大きく，動作も複雑ですので，本レポートの説明は考え方を中心に進めたいと思います．

１.４　略記号について

　本レポートでは説明簡略のため略記号を多用します．以下に主なものを挙げておきますので適宜参照してください．